2015年5月25日月曜日

ベルヌーイの定理

ベルヌーイの定理は、

外力のない非粘性・非圧縮性流体定常な流れに対して

\frac{1}{2}v^{2}+\frac{p}{\rho}=constant

流線上で成り立つという定理である。

(vは速度、pは圧力、ρは密度、constantは一定を意味する)


この式はナビエストークス方程式から導かれる。
自分もそれを導出する計算をしたことはあるが、
なぜ成り立つか感覚的によくわからなかった。


なので、感覚的に理解してみる。

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まず、上の図の左の方に密度ρで、横、縦、高さがΔx、Δy、Δzの直方体がある。
この直方体の質量はρΔxΔyΔzである。
(Δx→0、Δy→0、Δz→0とする。)

また、この直方体は、時刻tに
y方向にもz方向の速度がなくx方向にvxの速度で動いているとする。

そして、x方向の圧力勾配は∂p/∂xとすると、

直方体の左面からの圧力をpとしたとき、
右面からの圧力はp+(∂p/∂x) Δxとなる。

ここでしようとしていることは、
Δt秒後のこの直方体の速度と圧力の値を求めて、
時刻tと時刻t+Δtで、
\frac{1}{2}v^{2}+\frac{p}{\rho}=constant
が成り立つことを図を見ながら計算する。(Δt→0とする。)


時刻tでは、密度がρで、速度がvxで、圧力がpであった。

時刻t+Δtでは、時刻tより直方体がx方向にvxΔt移動しているので、
時刻t+Δtでの圧力は、p+(∂p/∂x) vxΔtとなる。

そして、時刻tで左面と右面の圧力差によって、直方体に力が働く。
その力は、-∂p/∂x ΔyΔzであり、運動方程式より、
-(∂p/∂x) Δx ΔyΔz/(ρΔxΔyΔz)=-(∂p/∂x) /ρの加速度が生じる。

これを使うとΔt秒後の直方体のx方向の速度は、
vx-(∂p/∂x) /ρ Δtとなる。


y方向にもz方向にも圧力差で速度が生じるようになり、
Δt秒後のy方向の速度とz方向の速度はΔvy,Δvzとする。
(Δvy→0、Δvz→0)

ここで、時刻tと時刻t+Δtでの\frac{1}{2}v^2+\frac{p}{\rho}を計算する。

時刻tでは、
\frac{1}{2}v_x^2+\frac{p}{\rho}

時刻t+Δtでは、
\frac{1}{2}[(v_x-\frac{\frac{\partial p}{\partial x}}{\rho} \Delta t)^2+\Delta v_y^2+\Delta v_z^2]+\frac{p+\frac{\partial p}{\partial x}v_x\Delta t}{\rho}

Δtの2乗やΔvyの2乗やΔvzの2乗は非常にに小さいので無視してしまって
\frac{1}{2}v_x^2-\frac{1}{2}\cdot 2v_x\frac{\frac{\partial p}{\partial x}}{\rho} \Delta t+\frac{p}{\rho}+\frac{\frac{\partial p}{\partial x}v_x\Delta t}{\rho}=\frac{1}{2}v_x^2+\frac{p}{\rho}

時刻tも時刻t+Δtでも、\frac{1}{2}v^2+\frac{p}{\rho}となるので、

流線上で、\frac{1}{2}v^2+\frac{p}{\rho}が成り立つといえる。
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2015年5月24日日曜日

webサイトにtexで数式を書く(忘備録)

自分のwebサイトに数式を表示させたいが、
普通にhtml上に書くだけだと汚く表示される。(ρghみたいになってしまう)

そんなときは、下のリンク先に行ってtexで数式を書く。
http://tmlife-storage.googlecode.com/svn/trunk/google-api/chart/latex.html

数式をhtmlコードに変換してくれて、そのコードを自分のwebサイトに貼ると
下のように数式が表示される。

\frac{1}{2}v^{2}+\frac{p}{\rho}=constant








2015年5月3日日曜日

東京の御嶽山


ちょっと自転車に乗ってどこか行きたいと思ったので、
2015年5月2日、秋葉原駅から御嶽山駅までサイクリングをした

なぜ、行き先を御嶽山駅にしたかは・・・気分です


午前10時ぐらいに秋葉原駅を出発して、
道中でbookoffに立ち寄りながら
午後2時ぐらいに御嶽山駅に着いた

とりあえず、御嶽山駅の目の前にあるイオン御嶽山駅前店に自転車を置いて
周辺を散策した。(下の写真はイオン御嶽山駅前店と御嶽山駅)























まず、御嶽神社に行った。
ここには、長野県の御嶽山復興を願うという看板があり、
実は、御嶽山という地名は長野県の御嶽山と関連があったのかと驚いた。

(別の土地で同じ地名になることは結構あるだろうと思っていたので、
東京の御嶽山という地名も長野県の御嶽山と関係ないと思っていた。
でも、ここの周辺に山なんてないし、
長野の御嶽山と関係なしに御嶽山と名づけるのは
偶然だったらできすぎている話である。

家に帰ってからネットで検索すると、
まずここ一帯は御嶽山という地名ではなくて大田区北嶺町であり、
御嶽山駅という駅名は近くにある御嶽神社から来ている。
御嶽神社は御嶽山信仰者で同山に行けない人が参拝するために
できた神社であるということなので、長野の御嶽山と御嶽山駅は
関連があるということになる。)

(下の写真は御嶽神社)






















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御嶽神社に行った後、
どこかレストランに立ち寄って昼飯を食べようと思ったのだが、
結構な値段がしそうなレストランぐらいしか見当たらないので
イオン御嶽山駅前店に行った。

イオンなら何かフードコートやレストランがあると思ったのだが、
その考えが大失敗だった。

フードコートやレストランがないタイプのイオンで、
食べるところはイタリアントマトしかない・・・・
・・・とりあえずそこは保留

ということで、イオンのスーパーでなにか弁当を買って食べようと思った。
魚介類コーナーにあったほやが気になったが、近くに調理ができる場所がないので却下。
北陸名物笹寿司というのがあったからそれにしようかと思ったが、
値札がなくて値段がわからないし、御嶽山駅に来て北陸名物を食べるのもなにか
違うなーと思ったので却下。

そしてイオンの外に出て、外に出たすぐの場所にある店の店頭に商品のお焼きを発見した。
そうか、ここは御嶽山(東京)だ。御嶽山つながりで長野県名物のお焼きを
売っていてもおかしくないぞ。よし、お焼きを食べよう。

そう思って、僕は高菜入りとまいたけ入りのお焼き2つ(税込216円)を買って
イオンの外にあるベンチで食べた。

お焼きを一口食べた。まあ、おいしい。
そして一口食べたときにできたお焼きの断面を見て驚いた。
断面の半分ぐらいがお焼きの皮の部分で、残り半分が具であった。

お焼きの断面は7割ぐらいが具の部分だと思っていたので、
5割だけが具なのはカルチャーショックであった。


買った店のレシートを見たら店名は「だんごのたかの」であった。
そうか、団子屋だから具よりもお焼きの皮の方をメインにして売っているのか。
このお焼きの皮は団子の生地っぽかったし。

そして、僕はこういう考えに至った。
団子屋が御嶽山駅前の店だから長野名物のお焼きを売ろうとした。
団子屋だから団子の生地で作ったお焼きの皮をメインにして売ろう、と。


そして、お焼きを食べた後、普通に秋葉原駅まで帰るのはつまらないし、
神奈川が目前なので神奈川県川崎市の武蔵小杉駅、川崎駅に行った。
ちょっと遊んだ後に国道15号線を北上して秋葉原駅まで帰った。

下の地図の黒い線が秋葉原駅から御嶽山駅まで自転車で行ったときの道のりである。
赤い線は御嶽山駅から武蔵小杉駅、川崎駅を経由して秋葉原駅まで帰ったときの道のり
である。



家に帰った後に、団子屋「だんごのたかの」についてネットで検索した。
つくばや相模大野にもあるチェーン店らしく、そのつくばや相模大野の店でも
お焼きが売られることがあるそうだ・・・・

要は、「だんごのたかの」の御嶽山駅前店では、御嶽山というのとは関係なく
お焼きを売っていたということであった。

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今までした旅