2015年4月22日水曜日

コリオリ力を理解する

回転座標系にいる人にとって、
ωの角速度で回転座標系で速度vで動いている物体は
動いている方向の直角方向に2mωvの力が
働いてるように見える。(mは質量)

この力をコリオリ力と呼ぶ。


このコリオリ力について参考書を見ると、
たいてい微分とかによって式展開をしているが、
計算式を見せられても計算はわかるが
コリオリ力に関して直感的にわからない。

ということで、遠心力を求めたときと同じように、
直感的にわかりやすいと思われる図をつけて理解していく。
(この後の説明は遠心力を理解するを読んだ前提で説明してある)




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まず、外の静止系から見て点Oを中心として反時計周りに回転している板の上に
板の上から見ると止まっている物体があるとする。

その物体は板の外の静止系から見ると、rωの速度で動いてるように見える。
(板の回転の角速度をω、点Oと物体の距離をrとする)
t秒でのこの物体の板の回転による速度をV(t)とする。(|V(t)|=rω)

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次に、回転している板の上で物体がt秒の時v(t)の速度で動いたと考える。
(v(t)は、V(t)と平行としておく。詳細は下図を参照)

































板の外の静止系から見ると物体はV(t)+v(t)の速度で動いてるように見える。
(上図では、薄緑色で書かれている)

ここで、点Oからt秒の物体の位置の方向をx軸、V(t)の方向をy軸とする
xy座標を考える。

板の上から見て物体はv(t)の速度で動くため、
t秒ではxy座標で見て、(x,y)=(r,0)にあった物体が、
Δt秒後にはxy座標からΔθ回転したx'y'座標で見て、
(x',y')=(r, |v(t)|Δt)に物体が存在するようになる。(下図参照)
(Δθ=ωΔtである)


Δt秒後の静止系から見た板の回転による部分の物体の速度はV(t+Δt)、
Δt秒後の回転する板の上から見た物体の速度はv(t+Δt)とすると、
Δt秒後の物体の静止系から見た速度は、V(t+Δt)+v(t+Δt)となる。

Δt秒の間の静止系から見た速度ベクトルの変化をΔtで割ったのが
加速度ベクトルとなるので、
(V(t+Δt)+v(t+Δt))-(V(t)+v(t))=a(t)Δt
(a(t)は物体の加速度ベクトル。
上の図の右下あたりに薄緑色でベクトルの絵が書かれている)

ゆえに、加速度を求めるには、(V(t+Δt)+v(t+Δt))-(V(t)+v(t))を計算する必要がある。

(V(t+Δt)+v(t+Δt))-(V(t)+v(t))=(V(t+Δt)-V(t))+(v(t+Δt)-v(t))となるので、
図を見ながら、(V(t+Δt)-V(t))と、(v(t+Δt)-v(t))を計算する。

板の上から見た物体の速度の大きさは変わるわけがないので、|v(t)|=|v(t+Δt)|
v(t)とv(t+Δt)の間の角度は、Δθとなるので(Δθ=ωΔtである)、
遠心力の時の計算と同じような計算をすると、Δt→0で
v(t+Δt)-v(t)=|v(t)|ωΔt×(-e) -①
(eV(t)と垂直で円の外側方向の単位ベクトル。
遠心力の時と同じ計算はこちら)

V(t)とV(t+Δt)の間の角度は、Δθ+Δφとなる。
(Δφは上の図に書いてあるが、Δt秒後の物体の位置(x',y')=(r,|v(t)|Δt)をA、
x'y'座標で(x',y')=(r,0)となる位置をBとしたときの∠AOBをΔφとしている。
ちなみにtanΔφ=|v(t)|Δt/rとなる。)
さらに、Δt→0の時、Δφ=|v(t)|Δt/rと考えていい。

物体と点Oからの距離はΔt秒後にr(t+Δt)になる。
r(t+Δt)=r+O(Δφ2)=r+O(Δt2)となるので
(遠心力の理解の補足と同じように計算 (遠心力の補足の計算はこちらの下の方にある))、
Δt→0でO(Δt2)の部分が加速度ベクトルを求める時は0になる。
なので、r(t+Δt)=rと考えても差支えがない。
(O(Δφ2)は、k2Δφ2+k3Δφ3+・・・で、k2、k3・・・は有限)

|V(t+Δt)|=r(t+Δt)ω=rωとなり、|V(t+Δt)|=|V(t)|と考える。
これも、遠心力の時の計算と同じような計算をすると、Δt→0で
V(t+Δt)-V(t)=|V(t)|(Δθ+Δφ)×(-e)=rω2Δt×(-e)+|v(t)|ωΔt×(-e) -②
(遠心力の時と同じ計算はこちら

①と②より、
a(t)Δt=(V(t+Δt)+v(t+Δt))-(V(t)+v(t))
=(V(t+Δt)-V(t))+(v(t+Δt)-v(t))
=rω2Δt×(-e)+2ω|v(t)|Δt×(-e)

ゆえに、加速度ベクトルa(t)=rω2×(-e)+2ω|v(t)|×(-e)

見かけの力は加速度ベクトルと逆方向に働くので(慣性力を理解するに書いた)、
見かけの力は、ma(t)=mrω2×e+2mω|v(t)|×e

mrω2×eは遠心力の部分で、2mω|v(t)|×eはコリオリ力の部分である。
物体が板に対して進む速度の向きとは直角で右方向にコリオリ力が働くことになる。

コリオリ力の大きさは2mω|v(t)|


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さらに次に、
回転している板の上で物体がt秒の時v(t)の速度で動いたと考える。
(v(t)は、V(t)と垂直としておく。詳細は下図を参照)

板の外の静止系から見ると物体はV(t)+v(t)の速度で動いてるように見える。
(上図では、薄緑色で書かれている)

ここで、点Oからt秒の物体の位置の方向をx軸、V(t)の方向をy軸とする
xy座標を考える。

板の上から見て物体はv(t)の速度で動くため、
t秒ではxy座標で見て、(x,y)=(r,0)にあった物体が、
Δt秒後にはxy座標からΔθ回転したx'y'座標で見て、
(x',y')=(r+|v(t)|Δt,0)に物体が存在するようになる。(下図参照)
(Δθ=ωΔtである)

Δt秒後の静止系から見た板の回転による部分の物体の速度はV(t+Δt)、
Δt秒後の回転する板の上から見た物体の速度はv(t+Δt)とすると、
Δt秒後の物体の静止系から見た速度は、V(t+Δt)+v(t+Δt)となる。

Δt秒の間の静止系から見た速度ベクトルの変化をΔtで割ったのが
加速度ベクトルとなるので、
(V(t+Δt)+v(t+Δt))-(V(t)+v(t))=a(t)Δt
(a(t)は物体の加速度ベクトル。
上の図の右下あたりに薄緑色でベクトルの絵が書かれている)

ゆえに、加速度を求めるには、(V(t+Δt)+v(t+Δt))-(V(t)+v(t))を計算する必要がある。

(V(t+Δt)+v(t+Δt))-(V(t)+v(t))=(V(t+Δt)-V(t))+(v(t+Δt)-v(t))となるので、
図を見ながら、(V(t+Δt)-V(t))と、(v(t+Δt)-v(t))を計算する。

板の上から見た物体の速度の大きさは変わるわけがないので、|v(t)|=|v(t+Δt)|
v(t)とv(t+Δt)の間の角度は、Δθとなるので(Δθ=ωΔtである)、
遠心力の時の計算と同じような計算をすると、Δt→0で
v(t+Δt)-v(t)=|v(t)|ωΔt×e// -③
(e//V(t)と垂直で円の外側方向の単位ベクトル。遠心力の時と同じ計算はこちら)

V(t)とV(t+Δt)の間の角度は、Δθとなる。

物体と点Oからの距離はΔt秒後にr+|v(t)|Δtになる。
|V(t+Δt)|=(r+|v(t)|Δt)ωとなる。
一方、|V(t)|=rω
なので、
V(t+Δt)=|V(t+Δt)|×(V(t+Δt)/|V(t+Δt)|)
=(r+|v(t)|Δt)ω×(V(t+Δt)/|V(t+Δt)|)
=|V(t)|×(V(t+Δt)/|V(t+Δt)|)+|v(t)|Δtω×(V(t+Δt)/|V(t+Δt)|) -④

||V(t)|×(V(t+Δt)/|V(t+Δt)|)|=|V(t)|で、
|V(t)|×(V(t+Δt)/|V(t+Δt)|)とV(t)の間の角度はΔθなので、
遠心力の時の計算と同じような計算をすると、Δt→0で
|V(t)|×(V(t+Δt)/|V(t+Δt)|)-V(t)=|V(t)|Δθ×(-e)=rω2Δt×(-e) -⑤
(遠心力の時と同じ計算はこちら





④と⑤より、
V(t+Δt)-V(t)=|v(t)|Δtω×(V(t+Δt)/|V(t+Δt)|)+rω2Δt×(-e) -⑥

③と⑥より、
a(t)Δt=(V(t+Δt)+v(t+Δt))-(V(t)+v(t))
=(V(t+Δt)-V(t))+(v(t+Δt)-v(t))
=rω2Δt×(-e)+ω|v(t)|Δt×(e//)+|v(t)|Δtω×(V(t+Δt)/|V(t+Δt)|)

V(t+Δt)/|V(t+Δt)|は、単位ベクトルである。
V(t)と垂直で円の外側方向の単位ベクトルe//V(t+Δt)/|V(t+Δt)|の間の角度は
Δθである。e//V(t+Δt)/|V(t+Δt)|は微小しか違わないので、
e//=V(t+Δt)/|V(t+Δt)|としてしまっていい。

ゆえに、先ほどの計算は
a(t)Δt=(V(t+Δt)+v(t+Δt))-(V(t)+v(t))
=(V(t+Δt)-V(t))+(v(t+Δt)-v(t))
=rω2Δt×(-e)+2ω|v(t)|Δt×(e//)

ゆえに、加速度ベクトルa(t)=rω2×(-e)+2ω|v(t)|×(e//)

見かけの力は加速度ベクトルと逆方向に働くので(慣性力を理解するに書いた)、
見かけの力は、ma(t)=mrω2×e+2mω|v(t)|×(-e//)

mrω2×eは遠心力の部分で、2mω|v(t)|×(-e//)はコリオリ力の部分である。
物体が板に対して進む速度の向きとは直角で右方向にコリオリ力が働くことになる。

コリオリ力の大きさは2mω|v(t)|


物体がV(t)と同じ方向に動いても、V(t)と垂直の方向に動いても
コリオリ力は2mω×速度vとなる。

コリオリ係数は2ωである。


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じゃあ、物体がV(t)とは斜めの方向に動いたときコリオリ力はどうなるか?

回転している板の上で物体がt秒の時、v(t)+v(t)の速度で動いたと考える。
(V(t+Δt)+v(t+Δt)+v(t+Δt))-(V(t)+v(t)+v(t))を今までと同じように求めれば、
コリオリ力が求まるであろう。(下図参照)

結果は、v(t)+v(t)のベクトルにたいして直角の方向で右方向に
2mω|v(t)+v(t)|のコリオリ力が働く。
(めんどくさいので計算は省く)


実は、参考書のコリオリ力を求める計算はこれをやっているだけである。

正直言って僕の図もコリオリ力が直感的にわかりにくいかもしれない。

コリオリ力が直感的にわかりにくい理由は
v(t)の時は、V(t+Δt)とV(t)の間の角度がΔθ+Δφで、|V(t+Δt)|=|V(t)|であるが、
v(t)の時は、V(t+Δt)とV(t)の間の角度がΔθで、|V(t+Δt)|=|V(t)|+rωΔtと、
v(t)の時とv(t)の時とでは、V(t+Δt)の性質が変わるためである。

ただ、違うような計算をしているのに、最終的にv(t)の時もv(t)の時も
コリオリ力は2mωvとなるのはすごいと思う。




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2015年4月19日日曜日

遠心力の理解

遠心力の理解の前に、まず、運動の第一法則を復習する

運動の第一法則は、
「すべての物体は、外部から力を加えられない限り、
静止している物体は静止状態を続け、運動している物体は
等速直線運動をしつづける」

物体に力を加えない限り、その物体は等速直線運動をしつづけるということは、
等速直線運動をしつづけない時は、物体に何かしら力を加えられているということだ。

円運動はもちろん等速直線運動ではないので、
外部からなにかしら力が加えられているということになる。

例えば、物体をひもにくっつけてぶんぶん回す円運動の場合は、
ひもが物体を引っ張る力が、円運動するための外部からのなにかしらの力である。



円運動をするにはなにかしらの外部の力が必要だとわかったので、
次は、遠心力についてである。



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遠心力は慣性力の一種である。
(慣性力についてはコチラ)

円運動の外の静止座標系から見た運動方程式を
円運動している座標系で見たときも成り立つようにしたのが遠心力である。
(遠心力は、物体にかかる加速度とは逆向きとなる。)
(遠心力は円運動だけじゃなく、直線運動から外れた運動だったらあるものだけど
ここでは円運動ということで話を進める)




最後に遠心力の計算である。

ある時間の円運動している物体の速度ベクトルはv(t)
それからΔt秒後の物体の速度ベクトルはv(t+Δt)とする。
また、円運動の軌道の円の半径をr、
Δt秒の間に動く角度をΔθとしたとき、

























Δt秒の間の速度ベクトルの変化は、
Δtが非常に小さいとき(Δt→0)、
v(t+Δt)-v(t)=|v(t)|Δθ×(-e)
eは、v(t)に垂直で円の外方向の単位ベクトル、単位ベクトルとは長さが1のベクトル)
 (本当に速度ベクトルの変化がe方向かどうかとかはこのページの後の方に記述)

また、Δt秒の間の速度ベクトルの変化をΔtで割ったのが加速度ベクトルとなるので、
v(t+Δt)-v(t)=a(t)Δt

ゆえに、a(t)=|v(t)|Δθ/Δt ×(-e)
そして、遠心力は加速する方向と逆方向になることを考慮して、
ma(t)=m|v(t)|Δθ/Δt ×eとなる。

Δθ/Δtは角速度で、これに円の半径rをかけたら物体の速度となるので、
|v(t)|=rΔθ/Δt

遠心力は、ma(t)=m|v(t)|Δθ/Δt ×e=mr(Δθ/Δt)2×e=m|v(t)|2/r×e
とも表せる。


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遠心力の計算の補足

下の図より、加速度ベクトルをxy座標で表すと、
a(t) =(-|V(t)|tanΔθ/Δt+LsinΔθ/Δt, LcosΔθ/Δt)となる。
(x座標はeと同じ向き)

























L(図のAC)は、|V(t)|tanΔθsinΔθより小さいので、L<|V(t)|tanΔθsinΔθ
(V(t)とV(t+Δt)の長さが等しいので⊿ECBは二等辺三角形
∠EBA=90°、EはACの延長線上、∠BDA=90°、DはECの線上となるように、
点Aと点Dを打ったとき、∠ABD=Δθ/2,∠ABD=Δθで、L=AC<AD=|V(t)|tanΔθsinΔθとなる。)

Δt→0の時、tanΔθ→tan(Δθ/Δt×Δt)Δθ/Δt×Δt
sinΔθ→sin(Δθ/Δt×Δt)Δθ/Δt×Δt
ゆえに、Δt→0の時、|V(t)|tanΔθsinΔθ/Δt|V(t)|Δθ/Δt×Δθ/Δt ×Δt→0
L<|V(t)|tanΔθsinΔθなので、Δt→0の時L/Δt→0

ゆえに、Δt→0の時、a(t)(-|V(t)|tanΔθ/Δt, 0)(-|V(t)|Δθ/Δt, 0)





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2015年4月13日月曜日

右巻きと左巻き

サカマキガイについて調べていた時、
サカマキガイの貝殻はほとんど左巻きですという記述があった。

そもそも、左巻きとは、どっち方向に巻いた渦巻きなんだろうか?

右巻きと左巻きをwikipediaで調べると、
どっち巻きか混乱を招く言葉として紹介されている

で、「渦巻きを内から外側に書くとき、時計回りにみえる」のを右巻き
「渦巻きを内から外側に書くとき、反時計回りにみえる」のを左巻き
と呼ぶことになってるみたいだ

で、自分がネットなど調べるツールがない状態で
右巻きや左巻きと言われた時、どっちが右巻きでどっちが左巻きかを
イメージする方法を考えてみる。
(右巻きが時計回りだったか反時計回りだったか絶対忘れる)


コマをひもで巻く時、右手でコマを投げる時の巻き方が右巻き(コマを下の方から見たとき)
コマをひもで巻く時、左手でコマを投げる時の巻き方が左巻き

コマを投げる時、
野球の投手が投げるアンダースローみたいな投げ方(投げコマ)だと
コマのひもの巻き方で右巻き、左巻きが覚えられる
(ひきコマの投げ方だと巻き方が逆になってしまうけど)

僕が子供のとき、コマを投げコマでやっていたからという
経験上の覚え方で、他の人に応用ができるかは知らない。



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2015年4月8日水曜日

二段腹のウエストはどこか?

ふと疑問に思った。
二段腹の場合、ウエストはどこを測ったものを言うのか?

上の腹(下の腹でもいいけど)か。それとも二段腹のへこんだ部分か




ということで、まず、「二段腹 ウエスト」で検索してみる

その結果、
同じような疑問を持った人がいないようで、
二段腹のウエストはどこかの記述は全くなかった




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次に、ウエストの定義を調べてみる。

ウエストは、goo辞書によると、

1.肋骨と骨盤の間のくびれた部分
2.ウエストラインの略(ウエストラインは洋服などの胴回り。また、その寸法である。)


1.のくびれた部分であるという定義だと二段腹のへこんだ部分である。

2.のウエストラインという定義だと、自分にフィットする服を選ぶことを考えて、
上の腹(もしくは下の腹)の部分ということになる。
(二段腹のへこんだ部分を測ってもフィットする服を選べない)


ウエストの定義を考えると、二段腹のウエストは、
上の腹(もしくは下の腹)の場合もあるし、二段腹のへこんだ部分の場合もあるみたいだ。




最後に、ウエストの数値が必要となる時を考慮して、
二段腹のウエストとはどこかを考える。

ウエストの数値が必要となる時は、
1.プロフィールに載せたり、聞かれて答える時
2.自分にフィットする服を買うためにサイズをあらかじめ知っておく時
の2通りが考えられる。

二段腹の人はウエストの定義を1と2の場合で使い分ければいい

1のプロフィールに載せる場合は、
上の腹でも二段腹のへこんだ部分でも
自分がウエストだと思ったほうをウエストだと考えればいい。
(現代の日本では痩せているほうがいいと思われてるので、
大体は、へこんだ部分をウエストと考えておけばいい)

2の自分にフィットする服を買う場合は、
自分にとってきつい服を買わないために
太い部分のサイズを知っておくのが好ましいので、
ウエストは上の腹(もしくは下の腹)と考えたらいい


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